"아마추어 수학의 왕자"라고 불리는 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat, 1607~1665)는 17세기 프랑스의 수학자입니다. 그는 정수론 분야에 큰 업적을 남겼으며, 페르마의 마지막 정리로 유명합니다. 변호사이자 지방 의회 의원으로 활동하며 취미로 수학을 연구했던 그는 디오판토스의 "산술"에 주석을 달면서 수많은 정리를 남겼습니다. 이 글에서는 페르마의 삶과 그의 주요 업적인 정수론, 페르마의 마지막 정리, 그리고 디오판토스의 "산술"에 대해 자세히 알아보겠습니다.
정수론: 수의 세계를 탐험하는 매력적인 학문, 페르마의 선구적인 역할
피에르 드 페르마는 1607년 프랑스 보몽 드 로마뉴에서 태어났습니다. 그는 오를레앙 대학교와 툴루즈 대학교에서 법학을 공부했고, 변호사 자격을 취득하여 툴루즈 지방 의회 의원으로 활동했습니다. 페르마는 법률 업무 외에도 고전 문학, 언어학, 그리고 수학에 깊은 관심을 가지고 있었습니다. 페르마는 특히 정수론에 매료되었습니다. 정수론은 정수의 성질을 연구하는 수학 분야로, 고대 그리스 시대부터 연구되어 왔습니다. 페르마는 디오판토스의 "산술"이라는 고대 그리스 수학 책을 읽고 깊은 감명을 받았으며, 이 책에 자신의 아이디어와 발견을 주석으로 기록했습니다. 페르마는 소수, 합동식, 그리고 디오판토스 방정식 등 다양한 정수론 주제에 대한 연구를 수행했습니다. 그는 페르마의 소정리, 페르마의 두 제곱수 정리, 그리고 페르마의 마지막 정리 등 수많은 정리를 남겼으며, 이는 현대 정수론의 기초를 다지는 데 중요한 역할을 했습니다. 페르마는 "정수론의 아버지"라고 불릴 정도로 정수론 분야에 큰 업적을 남겼습니다. 그는 수학적 증명을 엄밀하게 제시하지 않고 자신의 발견을 간략하게 기록하는 경향 이 있었지만, 그의 뛰어난 직관과 통찰력은 후대 수학자들에게 큰 영향을 미쳤습니다.
디오판토스의 "산술": 페르마에게 영감을 준 고대 수학 책
디오판토스의 "산술(Arithmetica)"은 3세기 경 알렉산드리아의 수학자 디오판토스가 저술한 대수학 책입니다. 이 책은 방정식의 해법에 대한 다양한 문제와 풀이 방법을 담고 있으며, 정수론 발전에 큰 영향을 미쳤습니다. 페르마는 디오판토스의 "산술"을 읽고 깊은 감명을 받았으며, 이 책의 여백에 자신의 아이디어와 발견을 주석으로 기록했습니다. 페르마의 마지막 정리 역시 디오판토스의 "산술" 여백에 적혀 있던 주석에서 유래했습니다. 디오판토스의 "산술"은 기호를 사용하여 방정식을 표현하는 방법을 도입했으며, 이는 현대 대수학의 발전에 중요한 역할 을 했습니다. 또한, 이 책은 정수 해를 갖는 방정식에 대한 연구인 디오판토스 방정식 분야의 기초를 마련했습니다. 디오판토스의 "산술"은 수학 역사에서 중요한 저작 중 하나이며, 페르마를 비롯한 많은 수학자들에게 영감을 주었습니다. 이 책은 정수론과 대수학 발전에 큰 영향을 미쳤으며, 오늘날까지도 수학자들에게 연구 대상이 되고 있습니다.
페르마의 마지막 정리: 350년간 수학자들을 괴롭힌 난제
페르마의 마지막 정리는 "n이 2보다 큰 자연수일 때, 방정식 xⁿ + yⁿ = zⁿ 을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다"는 정리입니다. 페르마는 디오판토스의 "산술" 여백에 이 정리를 적어 놓고, "나는 이 정리에 대한 놀라운 증명을 발견했지만, 여백이 부족하여 적을 수 없다"는 말을 남겼습니다. 페르마의 마지막 정리는 수학 역사상 가장 유명한 난제 중 하나입니다. 수많은 수학자들이 이 정리를 증명하기 위해 노력했지만, 350년 동안 아무도 성공하지 못했습니다. 마침내 1995년, 영국의 수학자 앤드류 와일즈(Andrew Wiles)가 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데 성공했습니다. 페르마의 마지막 정리는 정수론 발전에 큰 영향을 미쳤습니다. 이 정리를 증명하기 위한 수많은 시도는 정수론의 다양한 분야 (예: 타원 곡선, 모듈러 형식 등)의 발전을 촉진했으며, 수학자들의 수학적 사고 및 증명 기법 발전에 크게 기여했습니다. 페르마의 마지막 정리는 수학의 아름다움과 신비 를 보여주는 대표적인 예입니다. 단순해 보이는 문제가 수백 년 동안 수학자들을 괴롭혔고, 결국 20세기말에 이르러서야 증명되었다는 사실은 수학의 깊이와 매력을 보여줍니다.